| 1. | They are the unitary operators on Rn.
Ce sont les opérateurs unitaires de Rn. |
| 2. | The identity function is trivially a unitary operator.
La fonction identité est, de manière triviale, un opérateur unitaire. |
| 3. | The Fourier operator is a unitary operator, i.e. the operator which performs the Fourier transform (with proper normalization).
L'opérateur de Fourier (c'est-à-dire l'opérateur qui effectue une transformation de Fourier) est un opérateur unitaire (avec une normalisation adéquate). |
| 4. | Notice that the value of θ modulo 2π does not affect the result of the multiplication, and so the independent unitary operators on C are parametrized by a circle.
La valeur de θ modulo 2π n'affecte pas le résultat de la multiplication, et par conséquent les opérateurs unitaires de C sont paramétrés par un cercle. |
| 5. | More generally, unitary matrices are precisely the unitary operators on finite-dimensional Hilbert spaces, so the notion of a unitary operator is a generalization of the notion of a unitary matrix.
Plus généralement, les matrices unitaires sont très exactement les opérateurs unitaires pour les espaces de Hilbert de dimension finie ; par conséquent la notion d'opérateur unitaire est une généralisation de la notion de matrice unitaire. |
| 6. | More generally, unitary matrices are precisely the unitary operators on finite-dimensional Hilbert spaces, so the notion of a unitary operator is a generalization of the notion of a unitary matrix.
Plus généralement, les matrices unitaires sont très exactement les opérateurs unitaires pour les espaces de Hilbert de dimension finie ; par conséquent la notion d'opérateur unitaire est une généralisation de la notion de matrice unitaire. |
| 7. | In the case when H 1 {\displaystyle H_{1}} and H 2 {\displaystyle H_{2}} are the same space, a unitary transformation is an automorphism of that Hilbert space, and then it is also called a unitary operator.
Dans le cas où H1 et H2 sont le même espace, une transformation unitaire est un automorphisme de cet espace de Hilbert, qui est alors aussi appelé opérateur unitaire, ou automorphisme orthogonal. |
| 8. | In another form of the mean ergodic theorem, let Ut be a strongly continuous one-parameter group of unitary operators on H. Then the operator 1 T ∫ 0 T U t d t {\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}\,dt} converges in the strong operator topology as T → ∞.
Une autre formulation de ce théorème ergodique est que si U t |
| 9. | This then gives A ∗ A = ( U P ) ∗ U P = P U ( P U ) ∗ = A A ∗ . {\displaystyle A^{*}A=(UP)^{*}UP=PU(PU)^{*}=AA^{*}.\,} In general, a partial isometry may not be extendable to a unitary operator and therefore a quasinormal operator need not be normal.
Ceci mène à l'équivalence suivante : t 1 / 2 = τ ⋅ ln 2 = ln 2 λ |
| 10. | The reason why U need not be unitary is because, unlike the finite-dimensional case, given an isometry U1 with nontrivial kernel, a suitable U2 may not be found such that {\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}} is a unitary operator.
La raison pour laquelle U n'a pas besoin d'être unitaire est liée au fait que, contrairement au cas de dimension finie, étant donnée une isométrie U1 avec un noyau non trivial, une isométrie U2 existe telle que : ( U 1 U 2 ) |
